考研

　　 考研数学大纲及解析之高等数学(微积分)部分

　　六、多元函数积分学

　　考试内容(适用于数学一)

　　二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用，两类曲线积分的概念、性质及计算，两类曲线积分的关系，格林(Green)公式，平面曲线积分与路径无关的条件，二元函数全微分的原函数，两类曲面积分的概念、性质及计算，两类曲面积分的关系，高斯(Gauss)公式，斯托克斯(Stokes)公式，散度、旋度的概念及计算，曲线积分和曲面积分的应用.

　　考试内容(适用于数学二)

　　二重积分的概念、基本性质和计算.

　　考试内容(适用于数学三)

　　二重积分的概念、基本性质和计算，无界区域上简单的反常二重积分.

　　考试要求(适用于数学一)

　　1.理解二重积分三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理.

　　2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).

　　3.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.

　　4.掌握计算两类曲线积分的方法.

　　5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数.

　　6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分.

　　7.了解散度与旋度的概念，并会计算.

　　8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等).

　　考试要求(适用于数学二)

　　了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标).

　　考试要求(适用于数学三)

　　了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算.

　　真题举例

　　【例1】(2009年数一)：计算曲面积分　I=∑xdydz+ydzdx+zdxdy(x2+y2+z2)32, 　其中∑是曲面2x2+2y2+z2=4的外侧.

　　参考答案：4π.

　　【例2】(2009年数二)：设函数f(x,y)连续,则∫21dx∫2xf(x,y)dy+∫21dy∫4-yyf(x,y)dx=

　　(A)∫21dx∫4-x1f(x,y)dy.(B)∫21dx∫4-xxf(x,y)dy.

　　(C)∫21dy∫4-y1f(x,y)dx.(D)∫21dy∫2yf(x,y)dx.

　　参考答案：C.

　　【例3】(2009年数三)：计算二重积分D(x-y)dxdy,

　　其中D={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤2,y≥x}.

　　参考答案：-83.

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