考研

　　 考研数学大纲及解析之高等数学(微积分)部分

　　五、多元函数微分学

　　考试内容(适用于数学一)

　　多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限与连续的概念，有界闭区域上多元连续函数的性质，多元函数的偏导数和全微分，全微分存在的必要条件和充分条件，多元复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数，方向导数和梯度，空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，二元函数的二阶泰勒公式，多元函数的极值和条件极值，多元函数的最大值、最小值及其简单应用.

　　考试内容(适用于数学二)

　　多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限与连续的概念，有界闭区域上二元连续函数的性质，多元函数的偏导数和全微分，多元复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数，多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值.

　　考试内容(适用于数学三)

　　多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限与连续的概念，有界闭区域上二元连续函数的性质，多元函数偏导数的概念与计算，多元复合函数的求导法与隐函数求导法，二阶偏导数，全微分，多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值.

　　考试要求(适用于数学一)

　　1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.

　　2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.

　　3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性.

　　4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.

　　5.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.

　　6.了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数.

　　7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程.

　　8.了解二元函数的二阶泰勒公式.

　　9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.

　　考试要求(适用于数学二)

　　1.了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义.

　　2.了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质.

　　3.了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数.

　　4.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.

　　考试要求(适用于数学三)

　　1.了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义.

　　2.了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质.

　　3.了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，会求多元隐函数的偏导数.

　　4.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题.

　　真题举例

　　【例1】(2009年数一)：求二元函数f(x,y)=x2(2+y2)+ylny的极值.

　　参考答案：-1e.

　　【例2】(2009年数二)：设z=f(x+y,x-y,xy),其中f具有二阶连续偏导数,求dz与2z祒祔.

　　参考答案：

　　dz=(f′1+f′2+yf′3)dx+(f′1-f′2+xf′3)dy，

　　2z祒祔=f ″11+(x+y)f ″13-f ″22+(x-y)f ″23+xyf ″33+f′3.

　　【例3】(2009年数三)：设z=(x+ey)x,则z祒 (1,0)=.

　　参考答案：1+2ln2.

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