考研

　　 考研数学大纲及解析之高等数学(微积分)部分

　　七、无穷级数

　　考试内容(适用于数学一)

　　常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与p级数及其收敛性，正项级数收敛性的判别法，交错级数与莱布尼茨定理，任意项级数的绝对收敛与条件收敛，函数项级数的收敛域与和函数的概念，幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域，幂级数的和函数，幂级数在其收敛区间内的基本性质，简单幂级数的和函数的求法，初等函数的幂级数展开式，函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数，狄利克雷(Dirichlet)定理，函数在[-l,l]上的傅里叶级数，函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数.

　　考试内容(适用于数学三)

　　常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与p级数及其收敛性，正项级数收敛性的判别法，任意项级数的绝对收敛与条件收敛，交错级数与莱布尼茨定理，幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域，幂级数的和函数，幂级数在其收敛区间内的基本性质，简单幂级数和函数的求法，初等函数的幂级数展开式.

　　考试要求(适用于数学一)

　　1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.

　　2.掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件.

　　3.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法.

　　4.掌握交错级数的莱布尼茨判别法.

　　5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系.

　　6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念.

　　7.理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法.

　　8.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和.

　　9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件.

　　10.掌握ex，sinx，cosx，ln(1+x)与(1+x)α的麦克劳林(Maclaurin)展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数.

　　11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在[-l,l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0,l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式.

　　考试要求(适用于数学三)

　　1.了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念.

　　2.了解级数的基本性质及级数收敛的必要条件，掌握几何级数及p级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法.

　　3.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法.

　　4.会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域.

　　5.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数.

　　6.了解ex，sinx，cosx，ln(1+x)与(1+x)α的麦克劳林(Maclaurin)展开式.

　　真题举例

　　【例1】(2009年数一)：设an为曲线y=xn与y=xn+1(n=1,2,…)所围成区域的面积,记S1=∑∞n=1an,S2=∑∞n=1a2n-1,求S1与S2的值.

　　参考答案：12，1-ln2.

　　【例2】(2009年数三)：幂级数∑∞n=1en-(-1)nn2xn的收敛半径为.

　　参考答案：1e.

　　【例3】(2008年数三)：设银行存款的年利率为r=0.05,并依年复利计算.某基金会希望通过存款A万元实现第一年提取19万元,第二年提取28万元,…,第n年提取(10+9n)万元,并能按此规律一直提取下去,问A至少应为多少万元?

　　参考答案：3980.

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