考研

中科院研究生院硕士研究生入学考试《数学分析》考试大纲

　　本《数学分析》考试大纲适用于中国科学院研究生院数学和系统科学等学科各专业硕士研究生入学考试。数学分析是一门具有公共性质的重要的数学基础课程，由分析基础、一元微分学和积分学、级数、多元微分学和积分学等部分组成。要求考生能准确理解基本概念，熟练掌握各种运算和基本的计算、论证技巧，具有综合运用所学知识分析和解决问题的能力。

　　一、考试基本要求

　　要求考生比较系统地理解数学分析的基本概念和基本理论，掌握数学分析的基本思想和方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

　　二、考试方法和考试时间

　　数学分析考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

　　三、考试内容和考试要求

　　(一)考试内容

　　1. 分析基础

　　(1) 实数概念、确界

　　(2) 函数概念

　　(3) 序列极限与函数极限

　　(4) 无穷大与无穷小

　　(5) 上极限与下极限

　　(6) 连续概念及基本性质，一致连续性

　　(7)收敛原理

　　2. 一元微分学

　　(1) 导数概念及几何意义

　　(2) 求导公式求导法则

　　(3) 高阶导数

　　(4) 微分

　　(5) 微分中值定理

　　(6) L’Hospital法则

　　(7) Taylor公式

　　(8) 应用导数研究函数

　　3. 一元积分学

　　(1) 不定积分法与可积函数类

　　(2) 定积分的概念、性质与计算

　　(3) 定积分的应用

　　(4) 广义积分

　　4. 级数

　　(1) 数项级数的敛散判别与性质

　　(2) 函数项级数与一致收敛性

　　(3) 幂级数

　　(4) Fourier级数

　　5. 多元微分学

　　(1) 欧氏空间

　　(2) 多元函数的极限

　　(3) 多元连续函数

　　(4) 偏导数与微分

　　(5) 隐函数定理

　　(6) Taylor公式

　　(7) 多元微分学的几何应用

　　(8) 多元函数的极值

　　6. 多元积分学

　　(1) 重积分的概念与性质

　　(2)重积分的计算

　　(3)二重、三重广义积分

　　(4)含参变量的正常积分和广义积分

　　(5)曲线积分与Green公式

　　(6)曲面积分

　　(7)Gauss公式、Stokes公式及线积分与路径无关

　　(8)场论初步

　　(二)考试要求

　　1.分析基础

　　(1) 了解实数公理，理解上确界和下确界的意义。掌握绝对值不等式及平均值不等式。

　　(2) 熟练掌握函数概念(如定义域、值域、反函数等)。

　　(3) 掌握序列极限的意义、性质(特别，单调序列的极限存在性定理)和运算法则，熟练掌握求序列极限的方法。

　　(4) 掌握函数极限的意义、性质和运算法则(自变量趋于有限数和趋于无限两种情形)，熟练掌握求函数极限的方法，了解广义极限和单侧极限的意义。

　　(5) 熟练掌握求序列极限和函数极限的常用方法(如初等变形、变量代换、两边夹法则等)，掌握由递推公式给出的序列求极限的基本技巧，以及应用Stolz公式求序列极限的方法。

　　(6) 理解无穷大量和无穷小量的意义，了解同阶和高(低)阶无穷大(小)量的意义。

　　(7) 了解上极限和下极限的意义和性质。

　　(8) 熟练掌握函数在一点及在一个区间上连续的概念，理解函数两类间断点的意义，掌握初等函数的连续性，理解区间套定理和介值定理。理解一致连续和不一致连续的概念。

　　(9) 掌握序列收敛的充分必要条件及函数极限(当自变量趋于有限数及趋于无穷两种情形)存在的充分必要条件。