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考研数学大纲及解析之高等数学(微积分)部分(2)

时间:2013-08-21 来源:文都教育 浏览: 分享:

       考研数学大纲及解析之高等数学(微积分)部分

      二、一元函数微分学

      考试内容(适用于数学一、数学二)

      导数和微分的概念,导数的几何意义和物理意义,函数的可导性与连续性之间的关系,平面曲线的切线与法线,导数和微分的四则运算,基本初等函数的导数,复合函数、反函数和隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法,高阶导数,一阶微分形式的不变性,微分中值定理,洛必达(L’Hospital)法则,函数单调性的判别,函数的极值,函数图形的凹凸性、拐点及渐近线,函数图形的描绘,函数的最大值与最小值,弧微分,曲率的概念,曲率圆与曲率半径.

      考试内容(适用于数学三)

      导数和微分的概念,导数的几何意义和经济意义,函数的可导性与连续性之间的关系,平面曲线的切线与法线,导数和微分的四则运算,基本初等函数的导数,复合函数、反函数和隐函数的微分法,高阶导数,一阶微分形式的不变性,微分中值定理,洛必达(L’Hospital)法则,函数单调性的判别,函数的极值,函数图形的凹凸性、拐点及渐近线,函数图形的描绘,函数的最大值与最小值.

      考试要求(适用于数学一、数学二)

      1.理解导数和微分的概念,理解导数与微分的关系,理解导数的的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系.

      2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分.

      3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数.

      4.会求分段函数的导数,会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.

      5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理,了解并会用柯西(Cauchy)中值定理.

      6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.

      7.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其应用.

      8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注:在区间(a,b)内,设函数f(x)具有二阶导数,当f″(x)>0时,f(x)的图形是凹的;当f″(x)<0时,f(x)的图形是凸的),会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形.

      9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径.

      考试要求(适用于数学三)

      1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系,了解导数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念),会求平面曲线的切线方程和法线方程.

      2.掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则,会求分段函数的导数,会求反函数与隐函数的导数.

      3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数.

      4.了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性,会求函数的微分.

      5.理解罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理,了解泰勒(Taylor)定理、柯西(Cauchy)中值定理,掌握这四个定理的简单应用.

      6.会用洛必达法则求极限.

      7.掌握函数单调性的判别方法,了解函数极值的概念,掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用.

      8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注:在区间(a,b)内,设函数f(x)具有二阶导数,当f″(x)>0时,f(x)的图形是凹的;当f ″(x)<0时,f(x)的图形是凸的),会求函数图形的拐点和渐近线.

      9.会描绘简单函数的图形.

      真题举例

      【例1】(2009年数二):若f ″(x)不变号,且曲线y=f(x)在点(1,1)处的曲率圆为x2+y2=2,则函数f(x)在区间(1,2)内

      (A)有极值点,无零点.(B)无极值点,有零点.

      (C)有极值点,有零点.(D)无极值点,无零点.

      参考答案:B.

      【例2】(2009年数二):函数y=x2x在区间(0,1]上的最小值为.

      参考答案:e-2/e.

      【例3】(2008年数二):曲线y=(x-5)x23的拐点坐标为.

      参考答案:(-1,-6).

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