考研

　　北京科技大学单独考试数学考试说明及 考试大纲:

　　一、函数、极限与函数连续性

　　考试内容

　　函数的概念及表示法，函数的主要特性（有界性、单调性、周期性和奇偶性），复合函数、反函数、分段函数和隐函数，基本初等函数的性质及其图形，初等函数，简单应用问题中函数关系的建立数列极限、函数极限的定义及其性质，左极限与右极限，无穷小和无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小阶的比较，极限的四则运算，复合函数的极限，极限存在的单调有界原理和夹逼准则，两个重要极限:函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。

　　考试要求

　　1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

　　2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

　　3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数及复合函数的概念。

　　4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

　　5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。

　　6．掌握极限的性质及四则运算法则。

　　7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

　　8．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小阶的比较方法，会在求极限过程中利用等价无穷小代换。

　　9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

　　10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值和最小值定理、介值定理）及其简单应用。

　　二、一元函数微分学

　　考试内容

　　导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线和法线，基本初等函数的导数，导数和微分的四则运算，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数，一阶微分形式的不变性。

　　微分中值定理，洛必达（L’Hospital）法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数图形的描绘，函数最大值和最小值，弧微分。

　　考试要求

　　1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

　　2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

　　3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

　　4.会求分段函数的一阶、二阶导数。

　　5．会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。

　　6．理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。

　　7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。

　　8．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

　　9．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

　　三、一元函数积分学

　　考试内容

　　原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，定积分的概念和基本性质，定积分中值定理，积分上限的函数及其导数，牛顿—莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法，简单有理函数、简单三角函数有理式和简单无理函数的积分，定积分的应用。

　　考试要求

　　1．理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念。

　　2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法。

　　3．会求简单有理函数、三角函数有理式及无理函数的积分。

　　4．会求积分上限函数的导数，掌握牛顿—莱布尼茨公式。

　　5．了解广义积分的概念，会计算简单的广义积分。

　　6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积、功）。

　　四、向量代数和空间解析几何

　　考试内容

　　向量的概念，向量的线性运算，向量的数量积和向量积，向量的混合积，两向量垂直、平行的条件，两向量的夹角，向量的坐标表达式及其运算，单位向量，方向数与方向余弦，曲面方程和空间曲线方程的概念，平面方程、直线方程，平面与平面、平面与直线、直线与直线的关系以及平行、垂直的条件，点到平面和点到直线的距离，球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程，常见的二次曲面的方程及其图形，空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标平面上的投影曲线方程。

　　考试要求

　　1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

　　2.掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件。

　　3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

　　4.掌握平面方程和直线方程的概念及其求法。

　　5.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角。

　　6.会求点到直线以及点到平面的距离。

　　7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念。

　　8.了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

　　9.了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

　　五、多元函数微分学

　　考试内容

　　多元函数的概念，二元函数的极限和连续的概念，有界闭区域上二元连续函数的性质，多元函数偏导数和全微分，多元复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数，方向导数和梯度，空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，二元函数的二阶泰勒公式，多元函数的极值和条件极值，多元函数的最大值、最小值及其简单应用。

　　考试要求

　　1．理解多元函数的概念。

　　2．了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

　　3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分。

　　4．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。

　　5．掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数的求法。

　　6．了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。

　　7．了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。

　　8．了解二元函数的二阶泰勒公式。

　　9．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

　　六、多元函数积分学

　　考试内容

　　二重积分、三重积分的概念及性质，二重积分与三重积分的计算和应用，两类曲线积分的概念、性质及计算，格林（Green）公式，平面曲线积分与路径无关的条件，已知全微分求原函数，两类曲面积分的概念、性质及计算，高斯（Gauss）公式，曲线积分和曲面积分的简单应用。

　　考试要求

　　1．理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质。

　　2．掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。

　　3．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质。

　　4．掌握计算两类曲线积分的方法。

　　5．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。

　　6．了解两类曲面积分的概念、性质，掌握计算两类曲面积分的方法，会用高斯公式计算曲面积分。

　　7．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量）。

　　七、无穷级数

　　考试内容

　　常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与p级数以及它们的收敛性，正项级数收敛性的判别法，交错级数与莱布尼茨定理，任意项级数的绝对收敛与条件收敛，函数项级数的收敛域与和函数的概念，幂级数及其收敛半径、收敛区间和收敛域，幂级数的和函数，幂级数在其收敛区间内的基本性质，简单幂级数的和函数求法，初等函数幂级数展开式。

　　考试要求

　　1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

　　2．掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件。

　　3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法判定级数的收敛性。

　　4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

　　5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

　　6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

　　7．理解幂级数的收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

　　8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

　　9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

　　10．掌握常用函数的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

　　八、常微分方程

　　考试内容

　　常微分方程的基本概念，可分离变量的方程，齐次微分方程，一阶线性微分方程，伯努利（Bernoulli）方程，全微分方程，线性微分方程解的性质及解的结构定理，二阶常系数齐次线性微分方程，简单的二阶常系数非齐次线性微分方程，微分方程的简单应用。

　　考试要求

　　1．了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。

　　2．掌握可分离变量的方程及一阶线性方程的解法。

　　3．会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程。

　　4．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。

　　5．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

　　6．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。

　　7．会用微分方程解决一些简单的应用问题。